№13825

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Докажите, что \(\forall n\in N: 2< \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}< 3 \)

Ответ

NaN

Решение № 13823:

\( a_{1}= 2\), таким образом, из возрастания последовательности \(\left \{ a_{n} \right \}\) следует, что при n > 1 выполнено \(a_{n} > 2\). Второе неравенство следует из того, что \(a_{n} < е\), поскольку e является пределом возрастающей последовательности, который, как следует из доказательства теоремы Вейерштрасса, является её супремумом. В свою очередь, е < 3.