№13820

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)задана формулой \(x_{n}=nx_{n-1}+2, x_{0}=c.\) Докажите, что если число c рационально, то эта последовательность не имеет предела.

Ответ

NaN

Решение № 13818:

Пусть \(c=\frac{p}{q} \)— несократимая дробь. Тогда все члены последовательности будут иметь знаменатель, не больший q. Заметим, что в последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \) могут совпасть не более двух членов. Последовательность чисел, знаменатели которых не больше q, не может иметь предела, поскольку в любом интервале таких чисел содержится лишь конечное количество. Как будет показано ниже, при рациональном с члены последовательности, начиная с некоторого номера, становятся целыми числами.