№13815

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Пусть \(x_{1}=a, 0< a\leq 2, x_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-x_{n}^{2}}}, n\in N\). Докажите, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)сходится

Ответ

NaN

Решение № 13813:

Подстановка \(x_{n}=2\sin a_{n} \) дает \(x_{n+1}=2\sin \frac{a_{n}}{2}\). Поэтому \(x_{n}=2\sin \frac{a_{1}}{2^{n-1}}\). Поскольку \(\lim_{n \to \propto} \frac{a_{1}}{2^{n-1}}=0\), то получаем \(\lim){n \to \propto} x_{n}=0. \)