№13804

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Выясните, сходится ли последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) и найдите предел сходящейся последовательности \(0< x_{1}\leqslant \frac{\sqrt{5}-1}{2}, x_{n+1}=\sqrt{1-x_{n}} \)

Ответ

NaN

Решение № 13802:

Пусть \(\tau =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\). \(\tau \) - это предел в предположений, что он существует. Заметим, что \(x_{2}=\sqrt{1-x_{1}}> \sqrt{1-\tau }=\tau > x_{1}, x_{3}=\sqrt{1-x_{2}}> \sqrt{1-\tau }=\tau \). Выясним, верно ли, что \(x_{3}> x_{1}\), т.е. верно, что \(\sqrt{1-x_{2}}=\sqrt{1-\sqrt{1-x_{1}}}> x_{1}. 1-\sqrt{1-x_{1}}> x_{1}^{2}; \sqrt{1-x_{1}}< \left ( 1+x_{1} \right )\left ( 1-x_{1} \right ); \sqrt{1-x_{1}}\left ( 1+x_{1} \right )> 1\). Последнее неравенство верно, так как \(\sqrt{1-x_{2}}\leqslant 1-x_{1}\Leftrightarrow \sqrt{1-x_{1}}\geqslant 1\Leftarrow 0< x_{1}\leqslant \frac{\sqrt{5}-1}{2}\). Таким образом, \(x_{1}\notin \left ( x_{2}; x_{3} \right )\). Итак, последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \}\) возрастающая и ограниченная сверху \(\tau\), а последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \}\) убывающая и ограниченная снизу \tau и окончательно \(\lim_{n \to \propto} x_{2n-1}=\lim_{n \to \propto} x_{2n}=\lim_{n \to \propto} x_{n}=\tau .\)