№13802

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Выясните, сходится ли последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) и найдите предел сходящейся последовательности \(x_{1}=1, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}\)

Ответ

NaN

Решение № 13800:

Заметим, что \(\forall n\in N x_{n}> 0\). Тогда используем то, что \(f\left ( x \right )=\frac{1}{1+x}\) убывает на\( \left [ 0; +\propto \right )\). Найдем несколько первых членов последовательности: \(x_{1}=1; x_{2}=\frac{1}{2}; x_{3}=\frac{2}{3}; x_{4}=\frac{3}{5}; x_{5}=\frac{5}{8}\). Нетрудно видеть, что последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \}\), членами которой являются числа \(\frac{1}{2}; \frac{3}{5}; ...,\) возрастающая, а последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \}\), членами которой являются числа 1; \(\frac{2}{3}; \frac{5}{8}; ... ,\) убывающая. Кроме того \(\forall n\in N x_{2n}< 1, x_{2n-1}> 0\). Тогда существуют \(\lim_{n \to \propto} x_{2n} и \lim_{n \to \propto} x_{2n-1}\). Покажем, что они равны: \(x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x_{n-1}}}=\frac{1+x_{n-1}}{2+x_{n-1}}\). Эта формула связывает соседние члены в обеих последовательностях. Если в ней перейти к пределу, то получим \(A=\frac{1+A}{2+A},откуда A=\frac{\sqrt{5}-1}{2} (так как A> 0)\) Таким образом, \(\lim_{n \to \propto} x_{2n} \lim_{n \to \propto} x_{2n-1}=\lim_{n \to \propto} x_{n}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)