№13800

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Вычислите при каком значении \(x_{1}\) сходится последовательность \(x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1 \)

Ответ

NaN

Решение № 13798:

Пусть \(x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1. Тогда \forall n\in N x_{n+1}-x_{n}=x_{n}^{2}-2x_{n}+1=\left ( x_{n}+1 \right )^{2}\geqslant 0\). Таким образом, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастающая. Выясним, когда последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограничена. Рассмотрим график \(f\left ( x \right )=x^{2}+3x+1\). Ясно, что при \(x_{1}> -1\) последовательность \(left \{ x_{n} \right \}\) расходится, так как в силу неограниченности функции \(f x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1 \) и его можно сделать сколь угодно большим. Аналогично при \(x_{2}< -2\) последовательность \(left \{ x_{n} \right \}\) неограниченная.