№13799

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Пусть последовательность задана в виде \(\forall n\in N x_{n+1}=f\left ( x_{n} \right )\), причем f - убывающая функция. Докажите, что последовательность\( \left \{ x_{2n-1} \right \} и \left \{ x_{2n} \right \}\) монотонны, причем одна из них возрастает, а другая убывает.

Ответ

NaN

Решение № 13797:

Пусть \(x_{3}=f\left ( f\left ( x_{1} \right ) \right ) x_{5}=f\left ( f\left ( x_{3} \right ) \right )\). Если \(x_{1}< x_{3}, то \left \{ x_{2n-1} \right \}\) — возрастающая последовательность по предыдущей задаче, при этом \(x_{2}=f\left ( x_{1} \right ), x_{4}=f\left ( x_{3} \right )\) и так как \(x_{1}< x_{3}\), а f— убывающая функция, то \(x_{2}> x_{4}\), и т. д. Заметим, что здесь возможно единственное расположение точек\( x_{i}\) на оси \(x_{3}\in \left ( x_{1}; x_{2} \right )\).Действительно, \(x_{1} \) располагается слева от \(\left ( x_{2}; x_{3} \right ), x_{1}< x_{2}\). Так как f — убывающая функция, то \(x_{2}=f\left ( x_{1} \right )> f\left ( x_{2} \right )=x_{3}\). В результате последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \}\) возрастающая и ограничена сверху \(x_{2}\), последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \}\) убывающая и ограничена снизу \(x_{3}\). Если же \(x_{1}> x_{3} (x_{1} \)расположена справа от \(( \left ( x_{2}; x_{3} \right ))\), то \(x_{3}\in \left ( x_{2}; x_{1} \right ) \) и тогда последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \} \)убывающая и ограничена снизу \(x_{2}.\)