№13798

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Пусть последовательность задана в виде\( \forall n\in N x_{n+1}=f\left ( x_{n} \right )\), причем f - возрастающая функция. Докажите, что если f - ограниченная функция, то последовательность \( \left \{ x_{n} \right \} \)сходится.

Ответ

NaN

Решение № 13796:

Если f — ограниченная функция, то \(\left \{ x_{n} \right \}\) — ограниченная последовательность, а в силу заданий а и б ещё и монотонная. Значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится по теореме Вейерштрасса.