№13793

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Найдите\( \lim n \to \propto x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами. \(x_{n}=\frac{\left ( -2 \right )^{n}}{\left ( n+2 \right )!} \)

Ответ

0

Решение № 13791:

Докажем, что \(\lim_{n \to \propto} \frac{a^{n}}{n!}=0 при a> 0\). Пусть натуральное число k> 2a, тогда при n> k будет выполнено \(\frac{a^{n}}{n!}=\frac{a}{1}*\frac{a}{2}*...*\frac{a}{n}=\left ( \frac{a}{1}*\frac{a}{2}*...*\frac{a}{k} \right )*\left ( \frac{a}{k+1}*\frac{a}{k+2}*...*\frac{a}{n} \right )< a^{k}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-k}=\left ( 2a \right )^{k}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}\). Так как \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}=0\), то при достаточно большом n будет выполнено \(\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}< \frac{\varepsilon }{\left ( 2a \right )^{k}}\), и следовательно, \(\frac{a^{n}}{n!}< \varepsilon\) , а это значит , что \(\lim_{n \to \propto} \frac{a^{n}}{n!}=0\). Теперь отметим, что выполнено неравенство \(0<\frac{2^{n}}{\left ( n+2 \right )!} . Тогда \lim_{n \to \propto} \frac{2^{n}}{\left ( n+2 \right )!}=0\), а так как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность, то \(\lim_{n \to \propto }\frac{\left ( -2 \right )^{n}}{\left ( n+2 \right )!}=\lim_{n \to \propto} \left ( -1 \right )^{n}\frac{2^{n}}{\left ( n+2 \right )!}=0 \)