№13791

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Найдите: \(\lim-{n \to \propto}\left ( \frac{a}{n} \right )^{n}\), где a - произвольное число.

Ответ

0

Решение № 13789:

При a=1 очевидно \(\lim_{n \to \propto}\frac{1}{n^{n}}=0\). При \(0< a< 1\) выполнены неравенства \(0< \left ( \frac{a}{n} \right )^{n}< \left ( \frac{1}{n} \right )^{n}\). Перейдя к пределу в неравенствах и воспользовавшись теоремой о сжатой последовательности, получим \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{a}{n} \right )^{n}=0\). Если \(a< 0, то \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{a}{n^{n}} \right )^{n}=\lim_{n \to \propto}\left ( -1 \right )\left ( \frac{-a}{n^{n}} \right )^{n}=0\) как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную.