№13790

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найдите: \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}\)

Ответ

0

Решение № 13788:

\( \forall n\geqslant 4010\) верно \(\frac{2005}{n}\leqslant \frac{1}{2}\). Тогда \(0< \left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}\leqslant \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}\).Перейдем к пределу в неравенствах \(\lim_{n \to \propto}\leqslant \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}\leqslant \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}\). Так как крайние пределы равны нулю, то по теореме о сжатой последовательности \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}=0. \)