№13785

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Докажите, что не существует предела у последовательности \(a_{n}=\sin n. \)

Ответ

NaN

Решение № 13783:

Пусть \(A=\lim_{n \to \propto}\sin n\). Тогда \(A=\lim_{n \to \propto}\sin \left ( n+2 \right )\). Отсюда \(\lim_{n \to \propto}\left ( \sin \left ( n+2 \right )-\sin n \right )=0\). Но тогда \(\lim_{n \to \propto} \cos \left ( n+1 \right )=0\), откуда \(\lim_{n \to \propto}\cos n=0\), а тогда \(\lim_{n \to \propto}\sin 2n=0\) и в то же время \(\lim_{n \to \propto}\sin 2n=A\). Но тогда \(\lim_{n \to \propto}\left ( \sin ^{2}n+\cos ^{2}n \right )=0\), что противоречит основному тригонометрическому тождеству.