№13781

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Определение предела последовательности,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Пусть \(\lim_{n \to \propto} =a\). Докажите, что \(\lim_{n \to \propto} \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}=a\). Верно ли обратное?

Ответ

NaN

Решение № 13779:

Обозначим \(y_{k}=a_{k}-a и S_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\). Тогда \(S_{n}-a=\frac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}\). Так как \(\lim_{n \to \propto} y_{n}=0, то \forall \varepsilon > 0 \exists N\in N: \forall n\geqslant N\left | y_{n} \right |< \frac{\varepsilon }{2}\). Обозначим \(c=\left | y_{1}+y_{2}+...+y_{N} \right |\). Тогда, если \(n> N\), то \(\left | S_{n}-1 \right |\leqslant \frac{\left | y_{1}+y_{2}+...+y_{N} \right |}{n}+\frac{\left | y_{N+1} \right |+...+\left | y_{n} \right |}{n}< \frac{c}{n}+\frac{\varepsilon }{2}\frac{n-N}{n}\leqslant \frac{c}{n}+\frac{\varepsilon }{2}\). Выберем k* так, чтобы \(\frac{c}{k*}< \frac{\varepsilon }{2}\). Тогда справедливо : \(\forall n\geqslant k*\frac{c}{n}< \frac{\varepsilon }{2}\). Пусть, наконец, \(n_{1}= max \left ( N; k* \right )\). Тогда для всех\(n\geqslant n_{1}\) выполняется неравенство \(\left | S_{n}-a \right |< \varepsilon\) . Следовательно, \(\lim_{n \to \propto} S_{n}=a.\)