№13686

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Верно ли, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=+\propto\), если все члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) - различные натуральные числа?

Ответ

Да

Решение № 13684:

Рассмотрим произвольное число Е > 0. Существует лишь конечное число натуральных чисел, меньших Е, а значит, лишь конечное число членов ,\(x_{n^{1}} x_{n^{2}},....x_{n^{k}}\) последовательности, меньших Е (каждое натуральное число может встретиться в последовательности не более одного раза). Это означает, что, начиная с некоторого номера (большего n_{k}), все члены последовательности будут больше Е. Следовательно, по определению \(\lim_{n \to \propto }x_{n}=+\propto. \)