№12109

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебраические дроби, Сложение и вычитание алгебраических дробей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Н.А.Шапошников, Н.К.Вальцов. Сборник алгебраических задач для средней школы,издание 13 переработанное,часть 2,государственное учебно-педагогическое издание 1933

Условие

Упростите выражение: \((\frac{b}{c}+\frac{c}{b})^{2}+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})^{2}+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^{2}-(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})\)

Ответ

\(4\)

Решение № 12107:

\((\frac{b}{c}+\frac{c}{b})^{2}+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})^{2}+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^{2}-(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})=(\frac{b^{2}+c^{2}}{bc})^{2}+(\frac{c^{2}+a^{2}}{ac})^{2}+(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab})^{2}-(\frac{b^{2}+b^{2}}{ab})^{2} \cdot (\frac{c^{2}+a^{2}}{ac})(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab})=\frac{(b^{2}+c^{2})^{2}}{b^{2}c^{2}}+\frac{(c^{2}+a^{2})^{2}}{a^{2}c^{2}}+\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a^{2}b^{2}}-\frac{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{b^{4}+2b^{2}+c^{4}}{b^{2}c^{2}}+\frac{c^{4}+2c^{2}a^{2}+a^{4}}{a^{2}c^{2}}+\frac{a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}}{a^{2}b^{2}}-\frac{(b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}+c^{4}+a^{2}c^{2})(a^{2+b^{2})}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{a^{2}(b^{4}+2b^{2}c^{2}+c^{4})+b^{2}(c^{4}+2c^{2}a^{2}+a^{4})+c^{2}(a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}}{a^{2}b^{2}c^{2}}-\frac{a^{2}b^{2}c^{2}+a^{4}b^{2}+a^{2}c^{4}+a^{4}c^{2}+b^{4}c^{2}+a^{2}b^{4}+b^{2}c^{4}+a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{6a^{2}b^{2}c^{2}-2a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{4a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=4\)