№1152

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Арифметика, Отношения и пропорции, пропорциональное деление ,

Задача в следующих классах: 5 класс 6 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

На отрезке АВ взяты точки С и D так, что точка С лежит между точками А и D. Известно, что \(AC:CD=2:3\), \(CD:DB=5:6\). Найдите АС, СВ и BD, если \(АВ=20см\).

Ответ

NaN

Решение № 1152:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим длины отрезков: \[ AC = x, \quad CD = y, \quad DB = z \] </li> <li>Из условия \(AC:CD = 2:3\) следует: \[ \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \implies y = \frac{3}{2}x \] </li> <li>Из условия \(CD:DB = 5:6\) следует: \[ \frac{y}{z} = \frac{5}{6} \implies z = \frac{6}{5}y \] </li> <li>Подставим \(y = \frac{3}{2}x\) в выражение для \(z\): \[ z = \frac{6}{5} \left(\frac{3}{2}x\right) = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 2}x = \frac{18}{10}x = \frac{9}{5}x \] </li> <li>Теперь длина всего отрезка \(AB\) равна сумме длин \(AC\), \(CD\) и \(DB\): \[ AB = AC + CD + DB = x + \frac{3}{2}x + \frac{9}{5}x \] </li> <li>Найдем общий знаменатель для сложения дробей: \[ x + \frac{3}{2}x + \frac{9}{5}x = x + \frac{15}{10}x + \frac{18}{10}x = x + \frac{15x}{10} + \frac{18x}{10} = x + \frac{33x}{10} = \frac{10x + 33x}{10} = \frac{43x}{10} \] </li> <li>Из условия \(AB = 20\) см следует: \[ \frac{43x}{10} = 20 \implies 43x = 200 \implies x = \frac{200}{43} \] </li> <li>Теперь найдем длины \(CD\) и \(DB\): \[ CD = \frac{3}{2}x = \frac{3}{2} \cdot \frac{200}{43} = \frac{300}{43} \] \[ DB = \frac{9}{5}x = \frac{9}{5} \cdot \frac{200}{43} = \frac{360}{43} \] </li> <li>Найдем длину \(BC\): \[ BC = CD + DB = \frac{300}{43} + \frac{360}{43} = \frac{660}{43} \] </li> </ol> Таким образом, длины отрезков: \[ AC = \frac{200}{43} \text{ см}, \quad BC = \frac{660}{43} \text{ см}, \quad BD = \frac{360}{43} \text{ см} \] Ответ: \[ AC = \frac{200}{43} \text{ см}, \quad BC = \frac{660}{43} \text{ см}, \quad BD = \frac{360}{43} \text{ см} \]