Расстояния на прямой и не только
Статья опубликована: None
Разберем несколько несложных задач с геометрическим содержанием, которые дают «ключ» к решению ряда задач, связанных с понятием модуля числа.
Прежде всего, напомним следующее.
1. Модулем числа \(x\) называется расстояние на координатной прямой от точки с координатой \(x\) до нуля.
2. Пусть на координатной прямой отмечены точки \(A\) \(a\) и \(B\) \(b\). Тогда расстояние между этими точками вычисляется по формуле \(AB =\left|a-b \right|\), а середина \(C\) отрезка \(AB\) имеет координату \(c=\frac{a+b}{2}\).
Первую из этих формул можно доказать, рассмотрев различные случаи расположения точек \(A\) и \(B\) по отношению друг к другу и к точке \(O\left( 0 \right)\), а вторая формула следует из первой, если записать равенство \(AC = BC\), используя координаты этих точек. Начнем с очень простого практического вопроса: где надо вырыть колодец, чтобы расстояние до него от двух домов было одинаковым? Естественный ответ: в середине отрезка, соединяющего эти дома.
Формально этот ответ не совсем точен. Для школьников, уже изучавших геометрию, можно напомнить, что геометрическим местом точек на плоскости, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.
Но с точки зрения здравого смысла из всех таких точек разумно выбрать ту, для которой требуемые расстояния не только равны, но и являются наименьшими из возможных. Действительно, если \(C\) — середина отрезка \(AB\), а \(K\) — произвольная точка серединного перпендикуляра к этому отрезку, отличная от \(C\), то \( KA\gt CA\), так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Пример 1.1. Решите уравнение
\(\left| x-2 \right|=\left| x-4 \right|\).
Решение. Рассмотрим координатную прямую. Условие задачи означает, что на ней надо найти точку, которая равноудалена от точек \(A\left( 2 \right)\) и \(B\left( 4 \right)\). Понятно, что это середина отрезка \(AB\), то есть \(C\left( 3 \right)\). Следовательно, решением уравнения является \(x = 3\).
Ответ: 3.
Более того, с той же легкостью можно решать и некоторые неравенства, например \(\left| x+1 \right|\gt \left| 7-x \right|\).
Действительно, из определения модуля следует, что модули противоположных чисел равны, а чтобы мы могли использовать формулу расстояния между точками, под знаком модуля должна стоять разность координат. Поэтому данное неравенство удобно переписать в таком виде: \(\left| x-(-1) \right|\geqslant \left| x-7 \right|\).
Тогда его решением будут все точки координатной прямой, для которых расстояние до точки \(A\left( -1 \right)\) не меньше, чем расстояние до точки \(B\left( 7 \right)\). Понятно, что этим свойством обладает точка \(C\left( 3 \right)\) — середина отрезка \(AB\), а также все точки, лежащие правее точки \(C\left( 3 \right)\).Таким образом, решением неравенства являются все числа, большие или равные трем, то есть \(x\gt 3\).
Обычно этот результат записывают в виде промежутка
\(\begin{bmatrix}
3;+\infty
\end{bmatrix}\), но можно ограничиться словесной формой или записью соответствующего простейшего неравенства.
Переформулируем исходную задачу. Пусть колодец требуется вырыть так, чтобы сумма расстояний от него до двух домов была наименьшей. Интуиция подсказывает, что колодец надо строить на отрезке, соединяющем эти дома, но в какой точке?
Оказывается, в любой точке этого отрезка! Действительно, какую бы точку \(M\) на отрезке \(AB\) мы ни выбрали, сумма расстояний от нее до концов отрезка одна и та же, и она равна длине отрезка \(AB\).
Если же выбрать произвольную точку \(N\) на прямой \(AB\) вне отрезка, то сумма расстояний от нее до точек \(A\) и \(B\), очевидно, будет больше, чем длина отрезка \(AB\). Аналогично если точка \(K\) не лежит на прямой \(AB\), то \(KA + KB \gt AB\) по неравенству треугольника.
Полученный факт позволяет решать простейшие задачи о сумме двух модулей.
Пример 1.2. Найдите наименьшее значение выражения
\( \left| x+4 \right|+\left| x-2 \right|\).
Решение. Рассмотрим на координатной прямой точки \(A(−4)\) и \(B(2)\). Условие задачи означает, что надо найти такие точки на координатной прямой, для которых сумма расстояний до точек \(A\) и \(B\) будет наименьшей. Эти точки, как было доказано, лежат на отрезке \(AB\), а искомая сумма равна длине отрезка \(AB\), то есть равна 6.
Ответ: 6.
Пример 1.3. Решите уравнение
\( \left| x+4 \right|+\left| x-2 \right|=10\).
Решение. Условие задачи означает, что на координатной прямой надо искать точки, сумма расстояний от которых до точек \(A(−4)\) и \(B(2)\) равна 10. Понятно, что на отрезке \(AB\) они лежать не могут, иначе эта сумма была бы равна 6, значит, они лежат вне этого отрезка. Искать их можно, например, так: заметим, что для любой точки \(N\), лежащей на координатной прямой вне отрезка, \(NA + NB = 2NC\), где \(C(−1)\) — середина отрезка \(AB\) (подумайте почему).
Таким образом, искомые точки удалены от точки \(C(−1)\) на расстояние 5. Получим, что решением уравнения являются два числа: 4 и −6.
Ответ: −6; 4.
Аналогично можно решать и неравенства, в частности, из предыдущих рассуждений следует, что решением неравенства \( \left| x+4 \right|+\left| x-2 \right|\gt 10 \) является объединение двух промежутков: \(\left( -∞;-6 \right)\cup \left( 4;+∞\right)\).
Усложним задачу. Пусть теперь вдоль прямой дороги стоят семь домов, причем расстояния между соседними домами не обязательно одинаковы. В какой точке дороги надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до всех домов была наименьшей?
Обозначим дома по порядку точками \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_6\), \(A_7\) на прямой, и пусть \(X\) — искомая точка.
Для того чтобы сумма \(XA_{1}+XA_{7}\) была наименьшей, точка \(X\) должна находиться на отрезке \(A_{1}A_{7}\). Сумма \(XA_{2}+XA_{6}\) наименьшая, если точка \(X\) лежит на отрезке \(A_{2}A_{6}\), а сумма \(XA_{3}+XA_{5}\) наименьшая, если \(X\) лежит на отрезке \(A_{3}A_{5}\). Следовательно, сумма \(XA_{1}+XA_{2}+XA_{3}+XA_{5}+XA_{6}+XA_{7}\) наименьшая, если точка \(X\) принадлежит всем трем отрезкам, то есть лежит на отрезке \(A_{3}A_{5}\). Осталось сделать наименьшим расстояние от \(X\) до \(A_{4}\). Понятно, что это произойдет в том случае, если \(X\) совпадает с \(A_{4}\). Таким образом, колодец надо строить около четвертого дома, причем полученный результат никак не зависит от расстояний между соседними домами!
Пример 1.4. Найдите наименьшее значение суммы
\(\left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-11 \right|\).
Решение. Условие задачи означает, что на координатной прямой надо найти точку, сумма расстояний от которой до точек \(A_{1}\left( 1 \right)\), \(A_{2}\left( 2 \right)\), …, \(A_{11}\left( 11 \right)\) будет наименьшей. По аналогии с только что рассмотренной задачей получим, что это точка \(A_{6}\left( 6 \right)\). Остается подсчитать сумму расстояний от этой точки до остальных: \(\left( 1+2+3+4+5 \right)\cdot 2=30\).
Ответ: 30.